Bienvenida al Blog

¡Hola Alumnos! Este Blog se ha elaborado para que puedan encontrar información útil sobre unos de los temas más importantes de la matemática: la Función Cuadrática. Desde aquí van a poder ver imágenes y vídeos que los ayudarán a comprender y complementar lo estudiado en el aula. Para ello brindamos actividades con sus respectivas soluciones para que puedan afianzar la lectura y autocorregirse.

Además contarán con "Información de Consulta", donde podrán acceder a otras páginas web para esclarecer dudas.

Al finalizar la lectura del Blog deberán realizar el Trabajo Practico Integrador, que abarca todos los temas vistos. El mismo deberá realizarse en computadora y enviarse al profesor a la direccion de mail: funcuadratica@gmail.com. Ante cualquier duda se podran comunicar por el mismo medio.

Introducción

SITUACIÓN PROBLEMÁTICA:

   Un zoólogo experto en anfibios modelo el salto de una rana mediante una expresión matemática y obtuvo la siguiente función: h(t)= 2t-t² , donde t es el tiempo medido en segundos y h la altura en metros. 

   La siguiente tabla muestra la altura de la rana en cinco instantes distintos:

ANALICEMOS... ____________________________________________________

• ¿Cuanto demora la rana en volver al suelo?, ¿De qué modo podríamos determinarlo?
• ¿Como determinarías la mayor altura que alcanza la rana?

_____________________________________________________________
   

Según la tabla, la rana esta en el suelo cuando t=0, t=2 ya que la altura a la que esta la rana es 0 en ambos instantes ( h(t)= 0 ). En el instante t=0 corresponde al momento de iniciar el salto, y el instante t = 2,  a los dos segundos de haber saltado, corresponderá al instante en que, luego del salto, la rana vuelve al piso. 

   Para determinar la mayor altura que alcanza la rana necesitamos conocer bien el comportamiento de la función que nos muestra el salto de la rana. Si vemos los valores de la tabla, la mayor altura mostrada es de un metro cuando ha pasado un segundo. 

   Muchas situaciones son modeladas mediante una función que involucra el cuadrado de una variable, como el caso del salto de la rana. Este tipo de función reciben el nombre de funciones cuadráticas, y son de la forma:

                                           f(x) = ax² + bx + c

(con a distinto de cero), y cuya gráfica correspondiente es una curva que recibe el nombre de parábola.

Veremos para esta unidad que para toda función cuadrática podemos  graficar la parábola correspondiente y determinar su comportamiento a partir del análisis de los coeficientes de la función f(x) = ax² + bx + c.

Para más información puedes consultar la siguiente página:

Información de Consulta I

Ejercitación:

Soluciones: Click aquí

Elementos Característicos

a) Términos: En la función cuadrática  f(x) = ax² +bx+ c; a, b y c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es necesariamente distinto de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual a cero), debido a que si es nulo no estaríamos trabajando con una función cuadrática. Pero sin embargo b y c pueden tomar valores iguales a 0. Cada uno de sus términos se llaman:

 

b) Coeficiente principal: es el coeficiente del término cuadrático. Indica la concavidad y la abertura de la parábola.

Concavidad:

                Ø Si a<0, entonces la  Ø Si a>0, entonces la 
                parábola es convexa.   parábola  es cóncava.

Abertura:

 Cuanto mayor sea el |a|, más "cerradas" estarán sus ramas. 

c) Ordenada al origen: es el punto donde la trayectoria de la función corta al eje Y. Es importante aclarar que la función cuadrática siempre tiene una ordenada al origen, y ésta es única. La misma puede calcularse reemplazando a x por 0 en la función, o simplemente observando el término independiente de la función en su forma polinómica.

d) Eje de simetría: es una recta paralela al eje Y, que pasa por el vértice de la función. La misma "divide" a la parábola en dos ramas iguales, simétricas.

e) Vértice: Es el punto del eje de simetría en que la función pasa de decreciente a creciente, o viceversa. Por lo tanto, la ordenada del vértice Yv, es el mínimo (o el máximo) de la función.

    f) Raíces: Son los puntos por donde la trayectoria de la función corta al eje X. Es importante mencionar que la función podrá tener dos, una, o ninguna raíz, dependiendo de que función se trate. Para poder determinar cuantas raíces tiene la función, se analiza el discriminante: Δx= b² -4.a.c

* Si Δx > 0, la función posee dos raíces

* Si Δx = 0, la función posee una única raíz (doble)

* Si Δx < 0, la función no tiene raíces (no corta al eje X)

Ejercitación:

1) Indica cuantas raíces poseen las siguientes funciones:

a) y= x² -5x+ 3

b) y=  2x² -5x+ 4

c) y=  x² -2x+ 4

d) y= -x² -x+ 3

Solución: Click aquí

Desplazamientos

Desplazamiento de la Parábola

Vimos que ocurre al variar el valor de a de la función cuadrática f(x) = ax² + bx + c, varía el gráfico de la parábola asociada a la función. Ahora, vamos a observar las gráficas para las funciones  de la forma f(x) = x² + c, cuando a=1 y b=0.

¿Pero que ocurre con los gráficos de las funciones cuando f(x)=(x-c)²  o f(x)=(x+c)²?

Ingresa en la siguiente pagina y encuentra cuales son las diferencias: Click aquí

Ejercitación:

Descarga la siguiente actividad, resuelvela y reenvia las soluciones a la dirección funcuadratica@gmail.com para ser corregido por tu profesor.: Actividad desplazamientos de la parábola

Construcción

En este apartado aprenderemos a gráfica una función cuadrática, sin necesidad de recurrir a las laboriosas tablas de valores. Para ello, debemos llevar adelante una serie de pasos los cuales están indicados detalladamente en el siguiente vídeo.

Ejercitación:

Siguiendo los pasos desarrollados en el video, graficar las siguientes funciones cuadráticas:

1. y = -x² + 4x - 3 

2. y = x² + 2x + 1

3. y = x² +x + 1

Solución:  Click aquí

Distintas Expresiones de la Función Cuadrática

La función cuadrática puede ser expresada de distintas maneras:

POLINÓMICA-CANÓNICA-FACTORIZADA

a) POLINÓMICA: Se llama así porque la función está expresada como un polinomio:    f(x) = ax² + bx + c
b) CANÓNICA: Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la siguiente manera:  
   f(x) = a(x-Xv)² -Yv , donde a es el coeficiente principal y (Xv;Yv) son las coordenadas del vértice.
c) FACTORIZADA: Las raíces de una función, si es que existen, nos permitirán expresar la fórmula de una función cuadrática en forma factorizada:    f(x) = a(x-X1).(x-X2)

¿Pero... cuál es la relación que tienen estas distintas expresiones?

Para contestar a esta pregunta... observemos el siguiente vídeo

   Como hemos observado en el video, estas tres expresiones aunque son visualmente distintas entre sí, son equivalentes porque son diferentes formas de escribir o expresar una sola función cuadrática. 
   A continuación, presentamos los métodos para pasar de una expresión a otra:

Para más información puedes consultar las siguientes páginas:

Información de Consulta I

Información de consulta II

Ejercitación:

1) Expresar cada una de las siguientes funciones en la forma en que se pide:

a) y=x² -4x + 3  en forma canónica

b) y= -1/2(x+2)(x-3) en forma polinómica

c) y= 2(x-3)² -2 en forma polinómica

d) y= -x² + 2x+3 en forma factorizada

2) Escriban las siguientes funciones funciones en la forma en que se pide:

a) El vértice es (-3;-2) y el coeficiente principal es -2

b) Las raíces son X1= -4 y X2= 2 y el coeficiente principal es -1

Solución: Click aquí

Solución de las Actividades

> Introducción:

a) -2  b) -2  c) 18  d) 74  e) 0  f) 8

> Elementos Característicos:

a) 2  b) 0  c) 1  d) 2

> Construcción de una Función cuadrática:

1-   Raíces: (3;0) (1;0)
      Eje de simetría: x= 2
      Vértice: (2;1)
      Ordenada al Origen: (0;-3)

2-  Raíces: (-1;0) 
      Eje de simetría: x= -1
      Vértice: (-1;0)
      Ordenada al Origen: (0;1)

3- Raíces: no tiene
      Eje de simetría: x= -1/2
      Vértice: (-1/2;3/4)
      Ordenada al Origen: (0;1)

> Distintas Expresiones de la Función Cuadrática:

1) 

a)   f(x)=(x-2)² -1

b)   f(x)= -1/2 x² +1/2x+3

c)    f(x)= 2x² -12x+16

d)   f(x)= -(x-3).(x+1)

2)

a)    f(x)= -2(x+3)² -2

b)    f(x)= -(x-2).(x+4)